邮局 村庄问题

Q:

用数轴描述一条高速公路，有V个村庄，每一个村庄坐落在数轴的某个点上，需要选择P个村庄在其中建立邮局，要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。

A:

【题目分析】：经典DP
1、考虑在V个村庄中只建立【一个】邮局的情况，显然可以知道，将邮局建立在中间的那个村庄即可。也就是在a到b间建立一个邮局，若使消耗最小，则应该将邮局建立在（a+b)/2这个村庄上（可以通过画图知道）。
2、下面考虑建立【多个】邮局的问题，可以这样将该问题拆分为若干子问题，在前i个村庄中建立j个邮局的最短距离，是在前【k】个村庄中建立【j-1】个邮局的最短距离 与 在【k+1】到第i个邮局建立【一个】邮局的最短距离的和。而建立一个邮局我们在上面已经求出。
3、状态表示，由上面的讨论，可以开两个数组
dp[i][j]:在前i个村庄中建立j个邮局的最小耗费
sum[i][j]:在第i个村庄到第j个村庄中建立1个邮局的最小耗费
那么就有转移方程：dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[k][j-1]+sum[k+1][i])  DP的边界状态即为dp[i][1] = sum[1][i]; 所要求的结果即为dp[vil_num][post_num];
4、然后就说说求sum数组的优化问题，可以假定有6个村庄，村庄的坐标已知分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6;那么，如果要求 sum[1][4]的话邮局需要建立在2或者3处,放在2处的消耗为p4-p2+p3-p2+p2-p1=p4-p2+p3-p1 放在3处的结果为 p4-p3+p3-p2+p3-p1=p4+p3-p2-p1，可见，将邮局建在2处或3处是一样的。现在接着求sum[1][5],现在处于中点的村庄 是3，那么1-4到3的距离和刚才已经求出了，即为sum[1][4],所以只需再加上5到3的距离即可。同样，求sum[1][6]的时候也可以用 sum[1][5]加上6到中点的距离。所以有递推关系：sum[i][j] = sum[i][j-1] + p[j] -p[(i+j)/2]

public class PostOffice {
    int[] villages;

    int numberOfVillages;
    int numberOfPostOffices;
    int totalCost;

    public PostOffice(int numberOfVillages, int numberOfPostOffices) {
        this.numberOfVillages = numberOfVillages;
        this.numberOfPostOffices = numberOfPostOffices;
        villages = new int[numberOfVillages];
    }

    public void ComputeTotalCost() {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < villages.length - 1; i++)
            sum += villages[i + 1] - villages[i];

        this.totalCost = sum;
    }

    public int min(int i, int j) {
        if (i >= j) 
            return j;
         else 
            return i;
    }

    public int DP(int indexOfVillage, int numberOfOfficesLeft) {
        if (numberOfOfficesLeft <= 0) 
            return 0;
        // Two cases: either add post office at village or not
        return min(DP(indexOfVillage + 1, numberOfOfficesLeft),
                DP(indexOfVillage + 1, numberOfOfficesLeft - 1)
        );
    }

    public static void main(String[] args) {
        PostOffice postOfficeProblem = new PostOffice(10, 5);
        postOfficeProblem.villages[0] = 1;
        postOfficeProblem.villages[1] = 2;
        postOfficeProblem.villages[2] = 3;
        postOfficeProblem.villages[3] = 6;
        postOfficeProblem.villages[4] = 7;
        postOfficeProblem.villages[5] = 9;
        postOfficeProblem.villages[6] = 11;
        postOfficeProblem.villages[7] = 22;
        postOfficeProblem.villages[8] = 44;
        postOfficeProblem.villages[9] = 50;
        postOfficeProblem.ComputeTotalCost();
        System.out.println(postOfficeProblem.totalCost);
    }
}

Mistakes：